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                <ITEXT FONT="Times New Roman Italic" FONTSIZE="9" CH="ou un sac, et était vendu au prix de 50 øre"/>
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                <ITEXT FONT="Times New Roman Regular" FONTSIZE="10" HyphenWordMin="6" CH="  La brochure que vous tenez entre vos mains est la deuxième édition d’une première brochure qui accompagne la boîte de jeu de Hex éditée et commercialisée par le CIJM (Comité International des Jeux Mathématiques) depuis 19XX. Depuis, le plateau de jeu a fait peau neuve et la brochure a été considérablement augmentée, avec de nouvelles sections en lien avec l’histoire du jeu de Hex, son intérêt pour les mathématiques et l’informatique, ainsi que de nouvelles approches stratégiques détaillées pas à pas. L’organisation de cette nouvelle édition devrait permettre à chacun·e d’y trouver son compte ! Une première partie est consacrée à l’histoire pleine de rebonds du jeu de Hex, des premiers défis publiés dans un journal danois en 1943 aux plateaux commercialisés dans les années 1950. "/>
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                <ITEXT FONT="Times New Roman Regular" FONTSIZE="10" HyphenWordMin="6" CH="  Vient ensuite une partie montrant l’intérêt constant qu’ont eu les mathématiciens pour le jeu de Hex, et comment sa programmation informatique – à l’instar d’autres jeux de plateau – relève de questions vives dans le domaine de l’intelligence artificielle. Enfin, les mathématiques sous-jacentes au jeu de Hex sont présentées de manière progressive : dans un premier temps en donnant quelques éléments de la théorie des jeux combinatoires (dont le jeu de Hex fait partie) puis en exposant les premières bases tactiques pour construire au mieux une stratégie gagnante. Des défis à relever clôturent cette brochure, avec une liste de références accessibles pour celles et ceux qui voudraient approfondir le sujet."/>
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                <ITEXT FONT="Times New Roman Italic" FONTSIZE="10" HyphenWordMin="6" CH="Lisa Rougetet, enseignant-chercheur en histoire des mathématiques à l’Université de Bretagne"/>
                <ITEXT FONT="Times New Roman Italic" FONTSIZE="10" CH=" Occidentale de Brest, rattachée au Centre François Viète. Coordinatrice de la présente brochure, elle s’est focalisée sur les aspects historiques du jeu de Hex, son invention, son lien avec les récréations mathématiques, ses intérêts pour les mathématiques et l’intelligence artificielle."/>
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                <ITEXT FONT="Times New Roman Regular" FONTSIZE="10" CH="Références pour aller plus loin                                                                         36"/>
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                <ITEXT FONT="Times New Roman Regular" FONTSIZE="10" CH="  Le jeu de Hex se joue à deux avec des pions noirs et des pions blancs sur un tablier en forme de losange, pavé par des hexagones. Deux bords opposés du tablier sont blancs et les deux autres sont noirs. Le jeu qu’accompagne ce livret comprend un plateau dépliable présentant 3 tabliers de tailles 9 x 9, 11 x 11 et 14 x 14, mais historiquement, le premier tablier de jeu utilisé comportait 11 x 11 cases"/>
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                <ITEXT FONT="Times New Roman Italic" FONTSIZE="10" CH=" Le terme « tablier » est équivalent à « plateau », ce dernier étant une traduction littérale de l’anglais « board ». Les spécialistes du jeu préfèrent l’emploi du mot « tablier » pour désigner la surface plane sur laquelle se jouent des parties de jeux de stratégies comme les Échecs, les Dames, le Go, etc. et plus généralement de jeux se déroulant sur une surface normée."/>
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                <ITEXT FONT="Times New Roman Regular" FONTSIZE="10" CH="  L’un des deux joueurs a les blancs. L’autre a les noirs. Le joueur qui a les pions blancs commence. Il place un de ses pions sur une case de son choix. Ensuite, chaque joueur place à son tour un de ses pions sur une case libre de son choix. Le premier joueur à avoir relié les deux bords de sa couleur avec ses pions par une ligne continue a gagné."/>
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                <ITEXT FONT="Times New Roman Regular" FONTSIZE="10" CH="  Le jeu de Hex est un jeu de stratégie pouvant être qualifié de récréation mathématique"/>
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                <ITEXT FONT="Times New Roman Regular" FONTSIZE="10" CH=", et qui se singularise sur de nombreux aspects. Tout d’abord, par la forme des cases qui composent son tablier : hexagonale. "/>
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                <ITEXT FONT="Times New Roman Regular" FONTSIZE="10" CH="  La consultation de la base de données Ludii1, recensant quelques 1400 jeux de tablier, montre qu’environ 7% d’entre eux présentent des cases hexagonales, mais parmi ceux-là beaucoup ne sont pas des jeux traditionnels (ils ont été inventés à des fins d’analyses mathématique ou informatique et ne sont pas communément pratiqués, ni même connus du grand public)."/>
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                <ITEXT FONT="Times New Roman Regular" FONTSIZE="10" CH="   Ensuite, il semblerait que parmi les jeux dits « de connexion » – qui n’est pas un concept nouveau parmi les jeux de pions – le jeu de Hex soit le premier de ce type à relier les deux bords d’un tablier par une chaîne continue de pions identiques, sans l’intervention d’un instrument de hasard (dés, osselets, tirage aléatoire de cartes, etc.). Enfin, malgré la simplicité de ses règles – vous avez pu le constater à la lecture de la première page ! – le jeu de Hex se révèle tout aussi intéressant et profond que le jeu d’Échecs. En tout cas, c’est ce qu’avance son inventeur, le Danois Piet Hein2 (1905-1996), et l’histoire prouve qu’il n'avait pas tort "/>
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                <ITEXT FONT="Times New Roman Bold" FONTSIZE="12" CH="POUR LES JOUEURS EXPÉRIMENTÉS : L’INVERSION (ou Swap rule)"/>
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                <ITEXT FONT="Times New Roman Regular" FONTSIZE="10" SCALEH="100" SCALEV="107" CH="Lorsque deux joueurs de niveau élevé jouent entre eux, l’expérience montre que celui qui commence a un petit avantage. On peut, à ce niveau, ajouter la r"/>
                <ITEXT FONT="Times New Roman Regular" FONTSIZE="10" SCALEH="100" SCALEV="107" KERN="-1" CH="ègle suivante : lors de leur 5 premier coup, les noirs, au lieu de jouer sur une case vide, ont le droit « d’inverser », c’est- à-dire de remplacer le"/>
                <ITEXT FONT="Times New Roman Regular" FONTSIZE="10" SCALEH="100" SCALEV="107" CH=" premier pion blanc par leur propre pion. Ainsi, les blancs sont forcés de trouver un "/>
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                <ITEXT FONT="Times New Roman Regular" FONTSIZE="9" BASEO="-1" CH="2 Piet Hein est aussi l’inventeur du casse-tête mécanique géométrique connu sous le nom de Cube Soma, commercialisé au Danemark et en Angleterre en 1934. Ce dernier est composé de 7 pièces différentes, chacune formée d’un certain nombre du cubes unitaires agencés de façon irrégulière (en tricube et tétracubes). Le but est d’assembler ces pièces de manière à former un cube de 3 unités de côté. Il y a 240 solutions distinctes pour reconstituer le cube, elles ont été étudiées minutieusement par les mathématiciens Martin Gardner (1914-2010) "/>
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                <ITEXT FONT="Times New Roman Regular" FONTSIZE="10" CH="Même si le terme « récréations mathématiques » en tant que tel n’apparaît dans la littérature en France qu’à partir du début du XVIIe siècle, ces dernières existent depuis plus longtemps, au moins depuis l’Antiquité et se sont sûrement également transmises par voie orale. Les récréations mathématiques peuvent revêtir des formes diverses et variées : énoncés de problèmes écrits (par exemple le problème du chou, de la chèvre et du loup), casse-têtes mécaniques (la Tour d’Hanoï, le Rubik’s Cube) ou encore jeux de stratégie, comme le Morpion, le Puissance 4 ou le jeu de Hex. Mais quelle que soit leur forme, les récréations mathématiques peuvent se caractériser par quatre aspects : aspect populaire (elles doivent être compréhensibles par n’importe qui), aspect amusant/ludique/divertissant, aspect pédagogique (elles peuvent servir à des fins d’enseignement) et aspect historique, dans la mesure où certains problèmes ont traversé les siècles et sont encore actuellement connus sous leur forme d’origine. Le jeu de Hex remplit tous ces critères."/>
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                <ITEXT FONT="Times New Roman Regular" FONTSIZE="10" CH=" : Les humains jouent à des jeux de plateau depuis 5800 ans au moins. Le jeu le plus ancien a été découvert dans la tombe d’une femme en Égypte. Avant cela, on utilisait probablement des bouts de bois et des cailloux pour jouer sur des plateaux éphémères dessinés sur le sol. Ce qui explique que ces jeux restent inconnus des archéologues. Il est"/>
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                <ITEXT FONT="Times New Roman Regular" FONTSIZE="10" CH="possible que les hommes aient joué de cette façon pendant des milliers d’années mais nous ne pourrons jamais savoir avec certitude quand ils ont commencé. Cependant, à partir du moment où des objets ont été fabriqués pour jouer à des jeux de plateau, environ 3800 ans avant notre ère, nous pouvons retracer leur histoire de cette époque à nos jours."/>
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                <ITEXT FONT="Times New Roman Regular" FONTSIZE="10" CH=" : Dans beaucoup de cas, il est difficile de savoir quelles étaient les règles de ces jeux anciens, car elles étaient rarement écrites. De ce que nous savons, il semble que les jeux les plus populaires en Égypte, en Mésopotamie et dans l’ancien Mexique étaient des « jeux de parcours »3 : l’avancement des pièces de jeu résulte d’un lancement de dés et le but principal"/>
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                <ITEXT FONT="Times New Roman Regular" FONTSIZE="10" CH="Les « jeux de guerre » (Wargames) ou « jeux de capture », dont l’objectif est de capturer les pièces de l’adversaire, sont devenus populaires dans la Grèce antique et à Rome. Le plus ancien des « jeux de territoire » est apparu en Chine environ 500 ans avant J.-C. ; dans ce jeu, les joueurs doivent placer leurs pièces de manière à occuper des zones du plateau. Le plus célèbre de cette catégorie de jeux est le Go japonais."/>
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                <ITEXT FONT="Times New Roman Italic" FONTSIZE="10" CH="Question : existe-t-il d’autres jeux que le jeu de Hex pour lesquels le but est de connecter deux côtés d’un plateau par un chemin continu de pions ?"/>
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                <ITEXT FONT="Times New Roman Regular" FONTSIZE="10" CH=" : Les jeux traditionnels comme ceux cités précédemment ont traversé le monde grâce au bouche-à-oreille. Durant le XIXe siècle, une industrie s’est développée autour de l’invention et de la commercialisation des jeux. Dans ce contexte, on a commencé à explorer de nouvelles mécaniques de jeux qui n’avaient encore jamais été utilisées, de façon à créer des jeux inédits. C’est dans cet esprit que le jeu Hex a été conçu, en utilisant une mécanique de jeu simple, mais encore jamais utilisée, qui consiste à relier les deux côtés du plateau avec ses pions pour gagner."/>
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                <ITEXT FONT="Times New Roman Regular" FONTSIZE="9" CH="selon l’objectif principal qu’ils affichent : arrangement (Morpion), atteinte/parcours (jeu de l’Oie), blocage (Renard et poules), capture (Échecs), chemin/connexion (Hex), score/territoire (Go), etc."/>
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                <ITEXT FONT="Times New Roman Regular" FONTSIZE="10" CH="Lorsque le jeu de Hex est présenté pour la première fois en 1942 par Piet Hein (1905-1996), mathématicien, physicien, poète et designer danois, lors d’une conférence organisée par la Société de Mathématiques et de Sciences Naturelles de l’université de Copenhague4, ce dernier lui donne le nom Polygon. Durant cette conférence intitulée « Les mathématiques comme jeu – les mathématiques des jeux », Piet Hein développe également de manière plus générale ses propres critères qui définissent un bon jeu : équitable (chaque joueur a la même chance de gagner), fini (nombre limité de coups dans une partie), progressif (il ne peut y avoir deux"/>
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                <ITEXT FONT="Times New Roman Regular" FONTSIZE="10" CH="positions identiques sur le tablier dans une même partie), clair (aucun mouvement ne renverse complètement la situation ou la stratégie d’un joueur), stratégique (offre des combinaisons de jeu variées) et décisif (ne se finit pas sur un nul). Tous ces qualificatifs pouvant bien sûr s’appliquer à Polygon5 !"/>
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                <ITEXT FONT="Times New Roman Regular" FONTSIZE="10" BASEO="21" CH="Deux semaines après cette conférence, le samedi 26 décembre 1942, le jeu est introduit au grand public par le quotidien danois Politiken qui publie jusqu’au 1er août 19436 cinquante rubriques (quotidiennes jusqu’au 11 janvier 1943) rédigées par Piet Hein sur le sujet et organise deux soirées thématiques pour permettre aux personnes de se rencontrer et de jouer ensemble. Chaque rubrique présente la solution commentée de la rubrique précédente, un nouveau problème et un tablier vierge pour jouer. Il semblerait que le jeu eut du succès, car près de 50 000 supports de jeu furent vendus à partir de janvier 1943 (le pays comptait alors 4 millions de"/>
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                <ITEXT FONT="Times New Roman Regular" FONTSIZE="10" BASEO="21" CH="personnes). À cette époque, il ne s’agissait pas encore d’un tablier « solide » (en bois ou en plastique) sur lequel on jouait avec des pierres de couleur, mais d’un tablier dessiné sur papier prévu pour jouer avec un crayon (un set de jeu comprenait 50 tabliers dessinés, soit la possibilité de jouer 50 parties, à moins de jouer au crayon gris et de gommer les parties !). La Figure 2 montre un tablier vierge de taille 11 x 11, dessiné par Piet Hein, les « ronds » (blancs) jouent contre les « croix » (noirs). Les joueurs dessinaient alors tour-à-tour leur symbole dans la case"/>
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                <ITEXT FONT="Times New Roman Regular" FONTSIZE="9" CH="4 Présidée par Aage Bohr (1922-2009), fils du prix Nobel de physique Niels Bohr (1885-1962), lui-même prix Nobel, alors étudiant à l’époque."/>
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                <ITEXT FONT="Times New Roman Regular" FONTSIZE="9" CH="5 Piet Hein n’était pas certain que Polygon plairait à un large public. Il l’a donc d’abord testé au sein de son réseau social et professionnel : les étudiants de l’université de Copenhague et de l’Institut Polytechnique auraient été mis à contribution en testant le jeu au préalable."/>
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                <ITEXT FONT="Times New Roman Regular" FONTSIZE="9" CH="6 Après cette date, le rubrique s’arrête brutalement, certainement dû au fait que Piet Hein et sa famille furent contraints de quitter le Danemark pour fuir l’occupation allemande et s’installer en Argentine."/>
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                <ITEXT FONT="Times New Roman Italic" FONTSIZE="9" CH="ou un sac, et était vendu au prix de 50 øre"/>
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                <ITEXT FONT="Times New Roman Italic" FONTSIZE="9" CH="(ou 0,5 kroner), soit environ 1,50€ aujourd’hui."/>
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                <ITEXT FONT="Times New Roman Italic" FONTSIZE="9" CH="Source : [Hayward &amp; Toft, 2019, p. 36]"/>
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                <ITEXT FONT="Times New Roman Italic" FONTSIZE="9" CH="Source : [Hayward &amp; Toft, 2019, p. 37]"/>
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                <ITEXT FONT="Times New Roman Regular" FONTSIZE="10" CH="Dès la parution de la première rubrique, l’emphase est mise sur la simplicité du jeu et sa richesse d’analyse : « Voulez-vous apprendre Polygon ? Piet Hein a construit un jeu qui peut être pratiqué avec autant de joie par l’expert d’échecs et celui qui est simplement capable de tenir un crayon. » Piet Hein y décrit comment il est arrivé à inventer ce jeu, qui combine les deux idées suivantes "/>
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                <ITEXT FONT="Times New Roman Regular" FONTSIZE="10" CH=" (Figure 3) : 1) dans une case carrée, les paires de lignes émergeant des côtés opposés doivent nécessairement se croiser, donc sur cette base il est possible de créer un jeu dans lequel chaque joueur possède deux côtés opposés et un seul d’entre eux sera capable de connecter ses deux côtés, 2) cela ne fonctionne pas si le tablier est de forme rectangulaire (ou"/>
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                <ITEXT FONT="Times New Roman Regular" FONTSIZE="10" CH="carrée) comme aux Échecs, car quatre cases ne se rencontrent qu’en un seul point, "/>
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                <ITEXT FONT="Times New Roman Regular" FONTSIZE="10" CH="et les deux joueurs peuvent se bloquer l’un l’autre (et donc aucun d’eux ne peut connecter ses deux côtés). "/>
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                <ITEXT FONT="Times New Roman Regular" FONTSIZE="10" CH=" Or ce n’est pas le cas dès lors que les cases sont de forme hexagonale (car trois cases – nombre impair – se rencontrent en un point). Ingénieux n’est-ce pas ?"/>
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                <ITEXT FONT="Times New Roman Italic" FONTSIZE="9" CH="Figure 3 : À droite, illustration des deux principales idées qui ont amené Piet Hein à inventer Polygon. À gauche,"/>
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                <ITEXT FONT="Times New Roman Italic" FONTSIZE="9" CH="illustration de blocage des deux joueurs si les cases sont rectangulaires. "/>
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                <ITEXT FONT="Times New Roman Italic" FONTSIZE="9" CH="Source : [Hayward &amp; Toft, 2019, p. 5 et"/>
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                <ITEXT FONT="Times New Roman Regular" FONTSIZE="10" CH=" l’instar des « problèmes d’échecs » publiés dans certains journaux, Piet Hein propose dans sa rubrique de Politiken des « problèmes de Polygon » dont le premier est reproduit dans la Figure 4. Piet Hein était persuadé que les problèmes seraient la meilleure façon d’intéresser le lectorat du journal à Polygon et avait fait un appel à contribution quelques mois avant la parution de la première rubrique de décembre 1942 pour collecter des problèmes inventés par des personnes intéressées par le jeu (l’inventeur du problème retenu – choisi au hasard – remportait une dinde de Noël !). Les solutions devaient être adressées par voie postale au bureau éditorial du journal Politiken, et des prix étaient distribués : un premier prix de 50 couronnes"/>
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                <ITEXT FONT="Times New Roman Regular" FONTSIZE="10" CH="danoises, un deuxième prix de 25 couronnes et 3 troisièmes prix de 10 couronnes chacun (aujourd’hui, 100 couronnes danoises seraient un peu près équivalentes à 300€). À chaque problème, au moins une centaine de solutions étaient envoyées (plus de 200 en mars 1943)."/>
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