Wiki¶

Projet réalisé par Xavier Caruso, chercheur à l'Institut de Mathématiques de Bordeaux, et Adrien Chaud, étudiant en L1 Mathématiques à l'Université de Bordeaux, dans le cadre d'une partie de stage.

Synopsis¶

On souhaite réaliser un atelier de courses de billes, afin de promouvoir l'aspect mathématiques ludiques lors de différentes rencontres à l'Université de Bordeaux. La problématique des personnes jouant avec le montage sera la suivante :

Quel est le chemin le plus rapide pour qu'une bille aille d'un point A à un point B, avec un dénivelé de hauteur ?

Historiquement, cette interrogation se nomme le problème de la courbe brachistochrone. Quelle est la courbe qui permet à une particule de descendre le plus rapidement d'un point A à un point B ?

Réponse...Réponse...

Choix de conceptions¶

Aspects matériels¶

Pour démontrer la solution, on va construire plusieurs trajectoires, de même dimension, mais non de même courbure, qui seront mises côte-à-côte. En lâchant, à l'aide d'un système, les billes en même temps, les étudiants ou autres badauds peuvent s'apercevoir de la courbe la plus rapide.

Il est possible de faire de nombreuses variations de configuration, notamment sur la disposition des pentes pour comparer :

• Tous les profils de pente, côte-à-côte, afin de relâcher les billes en même temps et d'apercevoir en un coup quelle est la courbe solution du problème.
• Mettre sur un même profil différentes pentes, à monter / démonter tel un puzzle pour construire sa courbe parfaite. Cette solution nécessite alors de chronométrer les temps de passage pour pouvoir avoir une comparaison fiable et non à vue & mémoire.

Comme ce projet est censé être pédagogique et ludique pour les jeunes, une solution hybride a été dans notre cas choisie : deux profils côte-à-côte, où les étudiants pourront composer leur courbe qu'il juge la plus rapide. On pourrait ainsi imaginer des duels ou paris entre personnes, pour voir qui a la courbe solution.

Concernant la tenue des billes sur la pente, plusieurs solutions sont là aussi légitimes :

• La bille descend dans une rigole, imprimée en 3D, permettant à la bille de rouler sans tomber.
• La bille descend sur la tranche creusée d'une planche.
• La bille descend posée sur deux planches parallèles entre elles, avec un écart suffisant entre elles pour que la bille ne tombe pas.

Cette dernière solution a été choisie dans le cadre de ce projet. Les deux planches sont tenues parallèlement entre elles grâce à des entretoises placées entre les deux planches, le tout est cloué plusieurs fois pour être hyperstatique.

D'autres variations sont possibles, sur des détails :

• Sur la retenue des billes, avant de les faire tomber sur les pentes : système d'électroaimant, avec un interrupteur pour activer ou non le ou les aimants qui retiennent des billes en métal ; système de portail qui retient les billes avant la pente...
• Sur la récupération des billes après la chute : système de récupération ou de rigole ; butoir en fin de pente...
• Sur l'aperçu de l'arrivée progressive des billes : si l'écart entre les billes est trop peu important, il peut être choisi d'installer un système de chronométrage par capteur optique, ou un système lumineux notant la première bille arrivée, par exemple.

Ici ont été choisis un système de fourchette pour retenir les billes avant leur départ, ainsi qu'un chronométrage si le projet est fini en avance, pour permettre aux étudiants de comparer les différentes courbes.

Aspects mathématiques et logiciels¶

Afin de découper les planches au laser, il est nécessaire de réaliser les courbes au format SVG, à l'aide de logiciels de dessin vectoriel comme Inkscape. Choix ici a été fait de réaliser les SVG à la main, en modifiant le SVG au format XML.

Pour réaliser les courbes au format SVG, il est nécessaire d'utiliser des courbes de Bézier, outil de base du dessin vectoriel. Un des défis est alors d'approximer la courbe solution par une courbe de Bézier.

Le choix du nombre de courbes est à la discrétion du réalisateur : néanmoins, les pentes plus courbées que la courbe solution ne sont que légèrement moins rapide que celles-ci, alors que l'écart est plus important sur les courbes s'approchant d'une droite. Il conviendra de prendre un nombre de courbes adapté pour que la différence de temps soit visible entre les courbes.
De plus, ici, notre volonté d'empiler les courbes les unes sur les autres contraint à ne choisir que quelques courbes, pour éviter d'avoir des pièces trop fines qui se briseraient facilement et seraient difficile à intégrer.

Ainsi, dans le cadre de la réalisation première du projet, ont été décidées d'êtres réalisées quatre courbes :

• la droite allant du point A au point B ;
• la courbe solution du problème ;
• une courbe médiane entre ces deux-ci, donc avec peu de courbure ;
• une courbe hyperbolique, avec une très grande courbure.

Liste des matériaux¶

• Deux planches de MDF 3 mm : une par course de bille.
• Une planche de MDF 10 mm : où seront découpées les entretoises et le support.
• Une quinzaine de vis 2 x 10 mm : pour attacher les entretoises aux planches de MDF 3 mm.
• Une ou plusieurs billes, de diamètre supérieur à 10 mm, en métal si nécessaire.
• Un logiciel de dessin matriciel OU un éditeur de texte et un navigateur web affichant les SVG.
• Une machine de découpe laser.

Réalisation¶

Étude mathématique¶

Plus d'informations sur Étude mathématique

À l'issue de celle-ci, nous avons choisi de créer quatre courbes :

• la droite allant du point de départ au point d'arrivée ;
• la cycloïde, solution de notre problème, approximée par 200 points de passage, qui seront en fait 199 lignes ;
• une courbe de Bézier avec des points de contrôle (0,1 ; 0,2) et (0,4 ; 0,05) ;
• une courbe de Bézier hyperbolique, avec comme points de contrôles l'unique point (0 ; 0).

Les points de départ et d'arrivée des courbes sont les points (0 ; 0,37) et (0,581 ; 0), afin d'obtenir une courbe de 37 centimètres de haut et près de 58 centimètres de large, pouvant contenir dans une planche de MDF.

Image des quatre courbes superposées.

Dessin vectoriel¶

Les fichiers vectoriels ont été réalisés à la main, en modifiant le code XML, à partir des outils disponibles de base dans la spécification 1.1 du format SVG. Toutes les courbes sont des courbes de Bézier, conçus avec la fonction <path>. Pour optimiser l'espace, le premier ensemble de courbes est ensuite dupliqué et retourné, à l'aide de la fonction <g transform="translate(X,X) rotate(180,362,200)">.

Les premières esquisses sont les simples courbes, ainsi que le rectangle inférieur, afin d'avoir un ensemble fermé. On les dessine à l'aide du code pour les courbes de Bézier :

<path d="M 0 410 L 630 410 L 630 360 L 590 360 C 40 360 40 360 40 10 L 25 6.25 L 0 0 Z" fill="none" />
<path d="M 40 10 C 140 160 440 355 590 360" fill="none" stroke="red" />
<path d="M 40 10 L 590 360" fill="none" stroke="red" />
<path d="M 40 10 L 40.00 10.02 L 40.00 10.09 L 40.00 10.19 L 40.01 10.34 L 40.01 10.54 L 40.02 10.78 L 40.04 11.06 L 40.06 11.38 L 40.08 11.74 L 40.11 12.15 L 40.15 12.60 L 40.19 13.10 L 40.25 13.63 L 40.31 14.21 L 40.38 14.83 L 40.46 15.49 L 40.55 16.20 L 40.66 16.94 L 40.77 17.73 L 40.90 18.56 L 41.04 19.43 L 41.19 20.34 L 41.36 21.29 L 41.55 22.28 L 41.75 23.31 L 41.97 24.38 L 42.20 25.49 L 42.45 26.64 L 42.72 27.83 L 43.01 29.05 L 43.32 30.32 L 43.65 31.62 L 44.00 32.97 L 44.37 34.35 L 44.77 35.76 L 45.18 37.22 L 45.62 38.71 L 46.08 40.23 L 46.57 41.79 L 47.08 43.39 L 47.62 45.02 L 48.18 46.69 L 48.77 48.39 L 49.39 50.12 L 50.03 51.89 L 50.70 53.69 L 51.40 55.52 L 52.13 57.38 L 52.89 59.28 L 53.68 61.21 L 54.50 63.16 L 55.35 65.15 L 56.23 67.17 L 57.15 69.21 L 58.09 71.29 L 59.07 73.39 L 60.08 75.52 L 61.13 77.68 L 62.21 79.86 L 63.32 82.07 L 64.47 84.30 L 65.65 86.56 L 66.87 88.85 L 68.13 91.16 L 69.42 93.49 L 70.75 95.84 L 72.12 98.21 L 73.52 100.61 L 74.96 103.03 L 76.44 105.46 L 77.96 107.92 L 79.52 110.40 L 81.11 112.89 L 82.75 115.40 L 84.42 117.93 L 86.14 120.48 L 87.89 123.04 L 89.69 125.62 L 91.52 128.21 L 93.40 130.82 L 95.32 133.44 L 97.28 136.07 L 99.28 138.71 L 101.32 141.37 L 103.40 144.03 L 105.53 146.71 L 107.69 149.39 L 109.90 152.09 L 112.15 154.79 L 114.45 157.50 L 116.79 160.22 L 119.17 162.94 L 121.59 165.67 L 124.05 168.40 L 126.56 171.14 L 129.11 173.88 L 131.71 176.62 L 134.35 179.37 L 137.03 182.11 L 139.75 184.86 L 142.52 187.61 L 145.33 190.35 L 148.18 193.10 L 151.08 195.84 L 154.02 198.58 L 157.00 201.32 L 160.02 204.06 L 163.09 206.78 L 166.20 209.51 L 169.36 212.22 L 172.55 214.94 L 175.79 217.64 L 179.07 220.33 L 182.39 223.02 L 185.76 225.70 L 189.17 228.36 L 192.62 231.02 L 196.11 233.67 L 199.64 236.30 L 203.21 238.92 L 206.83 241.53 L 210.48 244.12 L 214.18 246.70 L 217.92 249.26 L 221.69 251.81 L 225.51 254.34 L 229.36 256.85 L 233.26 259.35 L 237.19 261.83 L 241.17 264.29 L 245.18 266.73 L 249.23 269.15 L 253.32 271.54 L 257.44 273.92 L 261.60 276.28 L 265.80 278.61 L 270.04 280.92 L 274.31 283.21 L 278.62 285.47 L 282.96 287.70 L 287.33 289.92 L 291.75 292.10 L 296.19 294.26 L 300.67 296.39 L 305.19 298.50 L 309.73 300.58 L 314.31 302.63 L 318.92 304.65 L 323.56 306.64 L 328.23 308.60 L 332.94 310.53 L 337.67 312.42 L 342.43 314.29 L 347.22 316.13 L 352.04 317.93 L 356.89 319.70 L 361.77 321.44 L 366.67 323.14 L 371.60 324.81 L 376.56 326.45 L 381.54 328.05 L 386.54 329.61 L 391.57 331.14 L 396.63 332.63 L 401.70 334.09 L 406.80 335.51 L 411.93 336.90 L 417.07 338.24 L 422.23 339.55 L 427.42 340.82 L 432.62 342.05 L 437.84 343.24 L 443.08 344.40 L 448.34 345.51 L 453.62 346.59 L 458.91 347.62 L 464.22 348.62 L 469.54 349.57 L 474.88 350.48 L 480.23 351.36 L 485.60 352.19 L 490.98 352.98 L 496.37 353.73 L 501.77 354.44 L 507.18 355.10 L 512.61 355.73 L 518.04 356.31 L 523.48 356.85 L 528.93 357.35 L 534.39 357.80 L 539.85 358.22 L 545.32 358.59 L 550.80 358.91 L 556.28 359.20 L 561.76 359.44 L 567.25 359.64 L 572.74 359.79 L 578.23 359.90 L 583.73 359.97 L 589.22 360.00" fill="none" stroke="red" />

Vous remarquerez qu'on a ajouté au rectangle un bord, à droite, qui servira à récupérer les billes. Ici, le premier chemin correspond au rectangle avec la courbe hyperbolique, formant ainsi une forme fermée ; le deuxième est la courbe de pente faible ; la troisième est la droite ; la quatrième est la cycloïde approximée par les points calculés dans l'étude mathématique. Un algorithme a calculé les points et les a fait précéder du caractère L, afin de dessiner des lignes.

Il manque néanmoins de nombreux éléments pour permettre d'assurer la tenue et la solidité des faces :

• des encoches, en bas des deux faces, qui viendront s'insérer dans une planche support. Cette dernière fait 10 mm de haut. On a ici choisi de faire de grandes encoches de 5 cm.
• une fente où viendra s'insérer un petit panneau, qui retiendra la bille avant d'être relâchée ;
• les trous des nombreuses vis où viendront se placer les entretoises qui viendront coller les deux planches avec 10 mm d'écart, permettant à la bille de rouler dessus.

On rajoute ces éléments au fichier XML, avec les instructions de fondation des trous notamment, spécifiques au matériel utilisé.

Le modèle de la face terminée se trouve en pièces jointes. Sur une d'entre elles a été également inscrit le logo de l'Institut de Mathématiques de Bordeaux, importé grâce à une plateforme simulant un fichier SVG à partir d'une image. Le logo est coloré en une autre couleur, vert, ce qui permettra de distinguer les puissances de laser à utiliser lors de la découpe / gravure.

Les faces ne sont cependant qu'une partie du travail : il manque en effet à concevoir les support et entretoises qui viendront consolider la structure. Pour cela, on se réfère aux coordonnées des points et aux dimensions des entretoises, préalablement notés. Le support ne sera qu'une grosse planche de MDF où viendront s'insérer les faces. Les faces seront ensuite visées entre elles avec au milieu les entretoises, courbe après courbe. Les entretoises doivent là aussi être découpées en plusieurs parties, qui s'imbriquent les unes dans les autres, afin de pouvoir imbriquer les courbes entre elles.

Afin de consolider les entretoises, choix a été fait d'utiliser des formes mixtes, c'est-à-dire qui s'imbriquent à la fois sur l'entretoise de niveau précédent, ainsi que sur une entretoise-support, qui reste visée au cadre / bas de la face. Le résultat donne des formes particulières, mais qui ne seront pas visibles une fois le tout monté.

Le modèle du support et des entretoises est disponible en pièce jointe.

Pensez néanmoins à bien calculer les emplacements des trous des vis, qui doivent coller entre les entretoises et la face…

Découpe et montage¶

Les fichiers SVG ont ensuite été ouverts sur Inkscape, étape obligatoire à leur impression grâce à la machine laser. Les dimensions ont été revérifiées, puis la machine laser a découpé les deux planches de MDF 3mm et la planche support de MDF 10mm, tout en gravant le logo sur l'une d'entre elles. Il aura néanmoins fallu faire plusieurs passages de machine laser afin de découper la planche de MDF 10mm, en raison d'une inclinaison du cadre d'insertion des planches de la machine.
Même après cela, toutes les pièces n'étaient pas complètement, voire pas découpées, et il a fallu faire le reste au cutter.
Par la suite, les courbes ont été visées aux entretoises correspondantes, qui ont ensuite été limées afin d'améliorer leur insertion dans les encoches. Les entretoises support ont été visées aux cadres des courbes. Enfin, à la suite de premiers essais, sur un reliquat de planche de MDF a été découpée une « fourchette » servant à contenir les billes et à les relâcher toutes en même temps, grâce aux encoches prévues dans la découpe des faces. Le tout a été verni, pour une meilleure longévité des planches de MDF.

Résultat et bilan¶

Une fois monté, la structure — visible ci-dessous — semble solide. Les différentes courbes s'emboitent bien les unes aux autres, même s'il faut faire attention lors de l'emboitement aux bouts des courbes, considérablement plus fragile. Plusieurs modifications ont été apportées depuis, avec notamment une légère entretoise insérée sur le bout de ces courbes, pour contrebalancer le phénomène de vibrations de ces bouts, qui s'enboitaient mal ou surtout bougeaient lorsque la bille roulait.

La fourchette, si insérée complètement, permet de tenir les billes. Le tout reste cependant très précaire, et à la moindre vibration de table, une bille peut partir de celle-ci — la fourchette permettant simplement de faire tenir la bille sur une plan légèrement incliné vers le support. Afin que les billes tombent au même moment, il est nécessaire de tirer fortement sur la fourchette, pour que le sol se dérobe sous les billes, et non qu'elle roule sur celle-ci.

Enfin, concernant la résolution du problème… la cycloïde est bien la courbe la plus rapide des quatre. Néanmoins, l'écart sur près de 60 centimètres de large n'est pas significatif, voire que peu visible entre deux courbes similaires. Ainsi, en regardant précisément l'arrivée des billes, on voit que la bille à la courbe cycloïde va plus vite qu'une autre, mais pas si on n'y prête pas attention. Exception : l'écart avec la droite est cependant beaucoup plus marqué, de plus d'un dixième de seconde…

Ce travail va cependant être conservé et porté durant les expositions et portes ouvertes où l'Institut de Mathématiques de Bordeaux est présent. Une piste pour corriger ce problème serait de faire atterrir les billes dans des récipients plus ou moins pleins, ou sur des cloches, émettant un son plus ou moins grave, afin de différencier à l'écoute l'arrivée des billes.

D'autres pistes d'améliorations peuvent être proposées, pour des éventuelles réutilisations :

• privilégier les billes en métal, et un système d'aimant lachant celles-ci en même temps, pour éviter des erreurs et des problèmes de lâchement de billes ici ;
• faire une courbe hyperbolique avec une pente qui n'est pas verticale, car la bille peut rebondir sur les parois sinon ;
• surtout, refaire ceci sur une plus grande longueur, afin de mieux marquer la différence de temps entre deux courbes.

Ce projet reste néanmoins intéressant, car mélangeant physique et fabrication d'un objet grâce à la découpe laser, avec les mathématiques récréatives.

Fichiers sources¶